江戸時代中期の公卿である。太政大臣・一条兼香の庶子として生まれ、醍醐家4代当主を務めた。寛延3年（1750年）に叙爵し、宝暦元年（1751年）に醍醐兼潔の養子となるが、兼潔に実子・冬香が生まれたため、兼純は中継ぎ的な当主となった。宝暦5年（1755年）には従三位・左近衛中将として公卿に列し、宝暦8年（1758年）には権中納言に任じられたが、同年12歳で早世した。家督は養子の冬香が継承した。